常见数学符号¶

三、笛卡尔积（Cartesian Product)¶

设有两个集合 \(A\) 和 \(B\)，它们的笛卡尔积记作：

\[A \times B\]

它表示的是所有有序对 \((a, b)\) 的集合，其中 \(a \in A\)，\(b \in B\)，也就是说：

\[A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A,\ b \in B \}\]

举个例子：

设 \(A = \{1, 2\}\)，\(B = \{x, y\}\)， 那么：

\[A \times B = \{ (1, x), (1, y), (2, x), (2, y) \}\]

注意：

有序对 \((a, b)\) 和 \((b, a)\) 是不同的（除非 \(a = b\)）

\(A \times B \neq B \times A\) 一般成立（除非两个集合完全相同，且所有元素等价）

多集合的笛卡尔积¶

对于多个集合 \(A_1, A_2, \dots, A_n\)，其笛卡尔积定义为：

\[A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ (a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \in A_i,\ \forall i = 1, 2, \dots, n \}\]

常见简写¶

如果所有集合都一样，比如 \(A \times A \times \cdots \times A\)（共 \(n\) 次），可以简记为：

\[A^n\]

表示 \(A\) 的 \(n\) 重笛卡尔积，例如：

\[\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\]

表示二维实数平面，每个元素是 \((x, y)\)，其中 \(x, y \in \mathbb{R}\)。

需要我给你出几个练习题或者配图说明吗？笛卡尔积配图特别适合理解。